ALGEBRA DE BOOLE

Postulados:

Operaciones conmutativas:

A*B=B*A
A+B=B+A

Elemento neutro:

A*1=A
A+0=A

Propiedad distributiva:

A*(B+C)=(A*B)+(A*C)
A+(B*C)=(A+B)*(A+C)

Complementos:

A+Ã=1
A*Ã=0

TEOREMAS:

DUALIDAD: Dada una identidad de los postulados del álgebra de boole, por lo tanto válida, se obtiene otra identidad igualmente válida para la operación * en la operación +, y viceversa. Cada operación se reemplaza por otra, al igual que sus elementos neutros.

IDEMPOTENCIA:

A*A=A
A+A=A

Demostración:

A+A=(A+A)*1
(A+A)*(A+Ã)
A+(A*Ã)
A+0
A
Dual para la operación *


ABSORCIÓN:
A+1=1
A*0=0
Demostración:

1=A+Ã
A+(Ã*1)
(A+Ã)*(A+1)
1*(A+1)
(A+1)*1
A+1

Dual para A*0

Primera ley de redundancia:
A+(A*B)=A
A*(A+B)=A

A=A*1
A*(B+1)
(A*B)+(A*1)
(A*1)+(A*B)
A+(A*B)

Dual para A*(A+B)

Unicidad del complemento:

Supondremos que:

Ã=X ^ Ã=Y // Es decir supondremos 2 complementos posibles para Ã

Si existiera lo anterior, entonces tendríamos:

(A+Ã=A+X=A+Y=1) ^ (A*Ã=A*X=A*Y=0)

Demostración:

X=X*1
X*(A+Y)
(X*A)+(X*Y)
0+(X*Y)
(A*Y)+(X*Y)
Y*(A+X)
Y*1
Y

INVOLUCION:

A=Ẫ

Demostración:
Ã=E
Ẽ = A

A*E=0
A+E=1

Reemplazando en E:
A*Ã=0
A+Ã=1


ASOCIATIVA:

A+(B+C)=(A+B)+C
A*(B*C)=(A*B)*C

Supondremos:

A+((A*B)*C)=A+((A*(B*C))
Ã+((A*B)*C)=A+((A*(B*C))

DEMOSTRAREMOS:
A+((A*B)*C)=A+((A*B)*C)
A+((A*B)*C)=A
A*(A*C)
A+(A*B)+(A+C)
A+((A*B)*C)

DEMOSTRAREMOS: Ã+((A*B)*C)=Ã+((A*B)*C)

Ã+(A*(B*C)) = (Ã+A) * (Ã+(B*C))
1 * (Ã+(B*C))
(Ã+B) * (Ã+C)
1 * (Ã+B) * (Ã+C)
(Ã+A) * (Ã+B) * (Ã+C)
Ã+(A*B) * Ã+C
Ã+((A*B)*C)

Y CON ELLO:

(A+((A*B)*C))* (Ã+((A*B)*C))) =(A+(A*(B*C)) *(Ã+(A*(B*C))

Al primer miembro lo minimizaremos:

(A+((A*B)*C))* (Ã+((A*B)*C))

(A*Ã)+((A*B)*C)

0 + ((A*B)*C)) I



(A+(A*(B*C)) *(Ã+(A*(B*C))

(A+Ã)+(A*(A*B))

0+(A*(A*B)) II

Para terminar:
I=II
(A*B)*C=A*(A*B)

PRIMERA LEY DE DEMORGAN:

_____
(A+O) = Ã*Õ
_____
(A*O) = Ã+Õ

Demostración:

(A+O) + (Ã*Õ) = 1

(A+O)*Ã + (A+O)*Õ

(A*Ã)+O + (O*Õ)+A

1+O + 1+A

1+1

1

SEGUNDA LEY DE DEMORGAN

Dual al anterior

SEGUNDA LEY REDUNDANCIA

A*(Ã+B) = A*B
A+(Ã*B) = A+B

A*(Ã+B) = (A*Ã) + (A*B)
0 + (A*B)
(A*B)

Dual al anterior para demostrar : A+(Ã*B) = A+B